Question

对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a（1≤a≤3）．设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是（x＞a-1），用y质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中c（0.8＜c＜0.99）是该物体初次清洗后的清洁度．
（Ⅰ）分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
（Ⅱ）若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响．

Answer

（1）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由=0.99求得x，进而可知方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足的方程，进而解得y，进而求得a和z的关系式，进而根据a的范围得出方案乙的用水量较少．
（2）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，求得x和y的关系式，当a为定值时求得x+y的最小值，根据等号成立的条件求得c，；当a不为定值时，根据是增函数，进而可知，随着a的值的最少总用水量，最少总用水量最少总用水量．
【解析】
（Ⅰ）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有=0.99，
解得x=19．
由c=0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足方程：，
解得y=4a，故z=4a+3．
即两种方案的用水量分别为19与4a+3．
因为当1≤a≤3时，x-z=4（4-a）＞0，
即x＞z，
故方案乙的用水量较少．
（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似（I）得
，y=a（99-100c）（*）
于是+a（99-100c）=
当a为定值时，，
当且仅当时等号成立．
此时，
将代入（*）式得．
故时总用水量最少，
此时第一次与第二次用水量分别为，
最少总用水量是．
当，
故T（a）是增函数（也可以用二次函数的单调性判断）．
这说明，随着a的值的增加，最少用水总量增加．