Question

数列{a_n}满足a₁=2，a₂=5，a_n+2=3a_n+1-2a_n，
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer

（Ⅰ）由an+2=3an+1-2an得an+2-an+1=2（an+1-an），得出an+2-an+1=2（an+1-an）所以数列{an+1-an}是等比数列；
（Ⅱ）利用累加法求通项．
【解析】
（Ⅰ）由an+2=3an+1-2an得an+2-an+1=2（an+1-an）…4分
∴数列{an+1-an}是以a2-a1为首项2为公比的等比数列…6分
（II）由（Ⅰ）a2-a1=3，所以数列{an+1-an}的通项公式为
an+1-an=3•2n-1 …9分，
当n≥2时，
an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2 ）+（a2-a1）+a1
=3•2n-2+3•2n-3+3•2n-4+…+3•21+3•2+2
=3•2n-1-1   
又n=1也符合上式，所以an=3•2n-1-1 
…13分