Question

对于二次函数f（x）=ax²+bx+c，有下列命题：
①若f（p）=f（q）（p≠q），则f（p+q）=c；
②若f（p）=q，f（q）=p，（p≠q），则f（p+q）=-（p+q）；
③若f（p+q）=c（p≠q），则p+q=0或f（p）=f（q）．
其中一定正确的命题是    ．（写出所有正确命题的序号）

Answer

①若f（p）=f（q）（p≠q），说明对称轴为x=则f（p+q）=f（0）=c
②说明对称轴为x=则f（p+q）=f（0）=c
【解析】
①若f（p）=f（q）（p≠q），则说明对称轴为x=则f（p+q）=f（0）=c，①正确
②若f（p）=q，f（q）=p，即①-②并整理得出a（p+q）+b+1=0
f（p+q）=a（p+q）2+b（p+q）+c=（p+q）[a（p+q）+b]+c=）=-（p+q）+c；当且仅当c=0时f（p+q）=-（p+q）；②错误
③若f（p+q）=c（p≠q），即a（p+q）2+b（p+q）+c=c，整理（p+q）[a（p+q）+b]=0，所以p+q=0
或a（p+q）+b=0，此时p+q=，对称轴为x=所以f（p）=f（q）． ③正确
综上所述一定正确的命题是①③
故答案为：①③