Question

设a是实数，．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）试证明：对于任意a，f（x）在R上为单调函数；
（3）若函数f（x）为奇函数，且不等式f+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）函数f（x）为奇函数，故可得f（x）+f（-x）=0，由此方程求a的值；
（2）证明于任意a，f（x）在R上为单调函数，由定义法证明即可，设x1，x2∈R，x1＜x2，研究f（x1）-f（x2）的符号，根据单调性的定义判断出结果．
（3）因为f（x）在R上为增函数且为奇函数，由此可以将不等式f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0对任意x∈R恒成立，转化为k•3x＜-3x+9x+2即32x-（1+k）3x+2＞对任意x∈R恒成立，再通过换元进一步转化为二次不等式恒成立的问题即可解出此时的恒成立的条件．
【解析】
（1）∵，且f（x）+f（-x）=0
∴，∴a=1（注：通过f（0）=0求也同样给分）
（2）证明：设x1，x2∈R，x1＜x2，则
==
∵x1＜x2，∴
∴f（x1）-f（x2）＜0即∴f（x1）＜f（x2）
所以f（x）在R上为增函数．
（3）因为f（x）在R上为增函数且为奇函数，
由f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0得
f（k•3x）＜-f（3x-9x-2）=f（-3x+9x+2）
∴k•3x＜-3x+9x+2即32x-（1+k）3x+2＞对任意x∈R恒成立，
令t=3x＞0，问题等价于t2-（1+k）t+2＞0，其对称轴
当即k＜-1时，f（0）=2＞0，符合题意，
当即对任意t＞0，f（t）＞0恒成立，等价于解得-1≤k＜-1+2
综上所述，当k＜-1+2时，不等式f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0对任意x∈R恒成立．