Question

已知圆C的圆心坐标为（3，4），直线l：2x+y=0与圆C相切于点P₁．
（1）求圆C的方程；
（2）过点P₁作斜率为2的直线交x轴于点Q₁（x₁，0），过Q₁作x轴的垂线交l于点P₂，过P₂作斜率为4的直线交x轴于点Q₂（x₂，0），…，如此下去．一般地，过点P_n作斜率为2ⁿ的直线交x轴于点Q_n（x_n，0），再过Q_n作x轴的垂线交l于点P_n+1，…
①求点P₁和P₂的坐标；
②求x_n+1与x_n的关系．

Answer

（1）利用点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质、圆的标准方程即可得出．
（2）①联立，解得P1，利用点斜式可得直线P1Q1的方程，令y=0，可得Q1，
联立，解得P2；
②设Qn（xn，0），则Pn+1（xn，-2xn），Qn+1（xn+1，0），则Qn+1Pn+1的斜率为2n+1，
即，即可．
【解析】
（1）圆心到直线l的距离，
则圆C的方程为（x-3）2+（y-4）2=20；
（2）①联立，解得，∴P1（-1，2），
直线P1Q1的方程为y-2=2（x+1），令y=0，解得x=-2．
∴Q1（-2，0），
联立，解得，
∴P2（-2，4）；
②设Qn（xn，0），则Pn+1（xn，-2xn），Qn+1（xn+1，0），
则Qn+1Pn+1的斜率为2n+1，
即，
∴．