Question

在三棱锥P-ABC中．侧梭长均为4．底边AC=4．AB=2，BC=2，D．E分别为PC．BC的中点．
〔I）求证：平面PAC⊥平面ABC．
（Ⅱ）求三棱锥P-ABC的体积；
（Ⅲ）求二面角C-AD-E的余弦值．

Answer

（I）利用等腰三角形的性质即可得到OP⊥AC，再利用勾股定理的逆定理即可得到OP⊥OB，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（II）由（I）可知OP⊥平面ABC，故OP为三棱锥P-ABC的高，且OP=，直角三角形ABC的面积S=，再利用即可得出．
（III）方法一：过点E 作EH⊥AC于H，过点H作HM⊥AD于M，连接ME，由平面PAC⊥平面ABC，EH⊥AC，EH⊂平面ABC，可得EH⊥平面PAC，于是ME⊥AD（三垂线定理），可得∠EMH即为所求的二面角的平面角．利用直角三角形的边角关系求出即可．
方法二：以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量即可得到二面角．
证明：（Ⅰ）∵PA=PB=PC=AC=4，
取AC的中点O，连接OP，OB，可得：OP⊥AC，
，
∵，∴AC2=AB2+BC2，∴△ABC为Rt△．
∴OB=OC=2，PB2=OB2+OP2，∴OP⊥OB．
又∵AC∩BO=O且AC、OB⊂面ABC，∴OP⊥平面ABC，
又∵OP⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．）
（Ⅱ）由（I）可知：OP⊥平面ABC，∴OP为三棱锥P-ABC的高，且OP=．
直角三角形ABC的面积S=．
∴VP-ABC==．
（Ⅲ）方法一：过点E 作EH⊥AC于H，过点H作HM⊥AD于M，
连接ME，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，EH⊥AC，EH⊂平面ABC，
∴EH⊥平面PAC，∴ME⊥AD（三垂线定理），
∴∠EMH即为所求的二面角的平面角．
∵E，D分别为中点，EH⊥AC，
∴在RT△HEC中：，，
∴
在RT△HMA中，．
在RT△HME中，．
所以．
方法二：以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
O（0，0，0），A（0，-2，0），，C（0，2，0），，，，
∴，，
设平面AED的一个法向量为，
平面ACD的一个法向量为，
则，得，令x=1，则，．
∴，
设所求的二面角为θ，显然θ为锐角，
===．