Question

已知A（-，0），B（，0）为平面内两定点，动点P满足|PA|+|PB|=2．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设直线l：y=k（x+）（k＞0）与（1）中点P的轨迹交于M，N两点，求△BMN的最大面积及此时的直线l的方程．

Answer

（1）根据P到两个定点A、B的距离和等于定值，可得P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，结合椭圆的基本概念即可求出动点P的轨迹方程；
（2）由直线MN方程与椭圆方程联解，消去x得（1+4k2）y2-y-k2=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），利用根与系数的关系算出|y1-y2|2=，再用换元法结合二次函数的性质算出|y1-y2|的最大值为，相应的k=．最后根据△BMN的面积S=•|AB|•|y1-y2|，即可得出△BMN的最大面积为，此时的直线l方程为 y=±（x）．
【解析】
（1）∵|PA|+|PB|=2，|AB|=＜2
∴动点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
设椭圆方程为（a＞b＞0）
可得a=1，c=，b==，
因此，椭圆方程为，可得动点P的轨迹方程为x2+4y2=1；
（2）由消去x，得（1+4k2）y2-y-k2=0
设M（x1，y1），N（x2，y2），可得，
∴|y1-y2|2=（y1+y2）2-4y1y2=，
令1+4k2=t，则|y1-y2|2=-++
当=，即t=3时|y1-y2|2的最大值为，
可得|y1-y2|的最大值为，相应的k=
∵△BMN的面积S=•|AB|•|y1-y2|
∴当且仅当k=时，△BMN的面积S=××=，达到最大值
综上所述，△BMN的最大面积为，此时的直线方程为y=（x+），即y=±（x）．