Question

如图所示的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，，M是线段B₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面D₁AC；
（Ⅱ）求证：D₁O⊥平面AB₁C；
（Ⅲ）求二面角B-AB₁-C的大小．

Answer

（Ⅰ）连接D1O，通过证明D1O∥BM，去证BM∥平面D1AC．
（Ⅱ通过证明 OB1⊥D1O．AC⊥D1O，由线面垂直的判定定理去证D1O⊥平面AB1C，
（Ⅲ）在平面ABB1中过点B作BE⊥AB1于E，连接EC，证明∠BEC是二面角B-AB1-C的平面角，再再直角三角形BEC中求解．
【解析】
（Ⅰ）连接D1O，如图，∵O、M分别是BD、B1D1的中点，BD1D1B是矩形，
∴四边形D1OBM是平行四边形，∴D1O∥BM．
∵D1O⊂平面D1AC，BM⊄平面D1AC，
∴BM∥平面D1AC．
（Ⅱ）连接OB1，∵正方形ABCD的边长为2，，
∴，OB1=2，D1O=2，
则OB12+D1O2=B1D12，∴OB1⊥D1O．
∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥D1D，
∴AC⊥平面BDD1B1，又D1O⊂平面BDD1B1，
∴AC⊥D1O，又AC∩OB1=O，
∴D1O⊥平面AB1C．
（Ⅲ）在平面ABB1中过点B作BE⊥AB1于E，连接EC，
∵CB⊥AB，CB⊥BB1，
∴CB⊥平面ABB1，又AB1⊂平面ABB1，
∴CB⊥AB1，又BE⊥AB1，且CB∩BE=B，
∴AB1⊥平面EBC，而EC⊂平面EBC，
∴AB1⊥EC．
∴∠BEC是二面角B-AB1-C的平面角．
在Rt△BEC中，，BC=2
∴，∠BEC=60°，
∴二面角B-AB1-C的大小为60°．