Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=2，AA₁=，M为棱A₁A上的点，若A₁C⊥平面MB₁D₁．
（Ⅰ）确定点M的位置；
（Ⅱ）求二面角D₁-MB₁-B的大小．

Answer

方法一（Ⅰ）连结A1D，证明△A1MD1∽△D1A1D，通过计算确定点M的位置；
（Ⅱ）引A1E⊥B1M于E，连结D1E，则A1E是D1E在平面BA1上的射影，说明∠A1ED1是二面角D1-MB1-B的平面角的补角，通过解三角形求二面角D1-MB1-B的大小．
方法二（Ⅰ）通过建立空间直角坐标系，利用向量的数量积求解点M的位置；
（Ⅱ）求出两个平面的法向量，利用空间向量的数量积求二面角D1-MB1-B的大小．
【解析】
（方法一）
（Ⅰ）连结A1D，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面ADD1A1为矩形，
∵A1C⊥平面MB1D1，
∴A1C⊥D1M，
因此A1C在平面AD1上的射影A1D⊥D1M，
∴△A1MD1∽△D1A1D，
∴A1M=，因此M是A1A的中点．…（6分）
（Ⅱ）引A1E⊥B1M于E，连结D1E，则A1E是
D1E在平面BA1上的射影，由三垂线定理可
知D1E⊥B1M，
∴∠A1ED1是二面角D1-MB1-B的平面角的补角，
由（Ⅰ）知，A1M=，则，
∴，
∴二面角D1-MB1-B等于．…（12分）
（方法二）
如图，在正四棱住ABCD-A1B1C1D1中，以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴建立空间直角坐标系A-xyz，AB=2，AA1=2，则
C（2，2，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），D1（0，2，2），
设M（0，0，Z），则=（0，2，2），=（2，2，），…（3分）
（Ⅰ）∵A1C⊥平面MB1D1，
∴A1C⊥D1M，∴，
∴，
∴，∴，
因此M是A1A的中点．…（6分）
（Ⅱ）∵A1C⊥平面MB1D1，
∴是平面MB1D1的一个法向量．
又平面A1B的一个法向量为，…（8分）
∴cos＜＞．
∵二面角D1-MB1-B是钝二面角．…（11分）
∴二面角D1-MB1-B等于．…（12分）