Question

已知函数f（x）=6lnx-ax²-8x+b，其中a，b为常数且x=3是f（x）的一个极值点．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）若y=f（x）的图象与x轴有且只有3个交点，求b的取值范围．

Answer

（1）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据x=3是f（x）的一个极值点f′（3）=0，可构造关于a的方程，求出a值；
（2）由（1）可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，x的范围，可得函数f（x）的单调减区间；
（3）若y=f（x）的图象与x轴有且只有3个交点，则函数的极大值与极小值异号，进而构造关于b的不等式，解不等式可得答案．
【解析】
（1）∵f（x）=6lnx-ax2-8x+b，
∴f′（x）=-2ax-8，
又∵x=3是f（x）的一个极值点
∴f′（3）=2-6a-8=0，
则a=-1．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
由（I）知f（x）=6lnx+x2-8+b．
∴f′（x）=+2x-8=．
由f′（x）＞0可得x＞3或x＜1，由f′（x）＜0可得1＜x＜3．
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和（3，+∞），单调递减区间为（1，3）．
（3）由（Ⅱ）可知函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，3）单调递减，在（3，+∞）单调递增．
且当x=1或x=3时，f′（x）=0．
∴f′（x）的极大值为f（1）=6ln1+1-8+b=b-7，
f′（x）的极大值为f（3）=6ln3+9-24+b=6ln3+b-15．
∵当x充分接近0时，f′（x）＜0．当x充分大时，f（x）＞0．
∴要使的f′（x）图象与x轴正半轴有且仅有三个不同的交点，只
需f（1）•f（3）＜0
即（b-7）•（6ln3+b-15）＜0
解得：7＜b＜15-6ln3