Question

设数列{a_n}的各项都是正数，记S_n为数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N^*，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²．
（Ⅰ）求证：a_n²=2S_n-a_n；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若（λ为非零常数，n∈N^*），问是否存在整数λ，使得对任意 n∈N^*，都有b_n+1＞b_n．

Answer

本题考查的是数列与不等式的综合题．在解答时：
（I）首先讨论n=1和n≥2时两种情况，结合通项与前n项和之间的关系通过作差、变形化简即可获得问题的解答；
（II）利用（1）的结论写出相邻的一项对应的关系式，注意保证n≥2．用作差法可分析知数列an为等差数列，进而即可获得数列的通项公式；
（III）首先假设存在λ使得满足题意，然后计算化简bn+1-bn，再结合恒成立问题进行转化，将问题转化为：对任意的n∈N*恒成立．然后分n为奇偶数讨论即可获得λ的范围，再结合为整数即可获得问题的解答．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵a13+a23+a33+…+an3=Sn2，
当n=1时，a13=a12．
∵a1＞0，∴a1=1．
当n≥2时，a13+a23+a33+…+an3=Sn2．①a13+a23+a33+…+an-13=Sn-12．②
①-②得  an3=an（2a1+2a2+…+2an-1+an）
∵an＞0，∴an2=2a1+2a2+…+2an-1+an，
即an2=2Sn-an．
∵a1=1适合上式，
∴an2=2Sn-an（n∈N*）．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 an2=2Sn-an（n∈N*）．③
当n≥2时，an-12=2Sn-1-an-1．④
③-④得an2-an-12=2（Sn-Sn-1）-an+an-1=2an-an+an-1=an+an-1．
∵an+an-1＞0，∴an-an-1=1．
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，可得an=n．（8分）
（Ⅲ）∵an=n，∴．
欲使bn+1-bn=[3n+1+（-1）nλ•2n+1]-[3n+（-1）n-1λ•2n]，
即成立．⑤
当n=2k-1，k=1，2，3，…时，⑤式即为．⑥
依题意，⑥式对k=1，2，3…都成立，∴λ＜1．
当n=2k，k=1，2，3，…时，⑤式即为．⑦
依题意，⑦式对k=1，2，3，…都成立，∴．
∴．
∴存在整数λ=-1，使得对任意n∈N*，都有bn+1＞bn．（12分）