Question

设a∈R，函数f（x）=ax³-3x²，x=2是函数y=f（x）的极值点．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer

（1）利用x=2是函数y=f（x）的极值点，可以求出a的值．
（2）利用导数和单调性的关系确定函数的单调区间．
【解析】
（1）函数的导数为f'（x）=3ax2-6x，因为x=2是函数y=f（x）的极值点，
所以f'（2）=3a×4-6×2=0，解得a=1，
经检验值a=1成立．
（1）当a=1时，f'（x）=3x2-6x=3x（x-2），
由f'（x）=3x（x-2）＞0，得x＞2或x＜0，此时函数单调递增．
由f'（x）=3x（x-2）＜0，得0＜x＜2，此时函数单调递减．
故函数的单调递增区间为（-∞，0）和（2，+∞），
函数的单调递减区间为（0，2）．