已知函数f（x）=lnx+2x （1）判断f（x）的单调性并用定义证明；（2）...

已知函数f（x）=lnx+2x
（1）判断f（x）的单调性并用定义证明；
（2）设 manfen5.com 满分网

，若对任意x₁∈（0，1），存在x₂∈（k，k+1）（k∈N），使f（x₁）＜g（x₂），求实数k的最大值．

（1）求函数的定义域，然后利用函数单调性的定义进行证明．（2）利用函数的单调性求实数k的最大值．【解析】（1）增函数 …（1分）因为函数的定义域为（0，+∞），设x1＞x2＞0…（2分）则f（x1）-f（x2）=lnx1-lnx2+2（x1-x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）， ∴f（x）在（0，+∞）是增函数 …（4分）（2）由（1）知f（x）在（0，+∞）是增函数 ∴f（x1）＜f（1）=2…（6分）令g（x2）≥2即即得 ∵…（8分） ∴kmax=2…（10分）

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考点分析：

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爱因斯坦提出：“人的差异在于业余时间”．某校要对本校高一学生的周末学习时间进行调查．现从中抽取50个样本进行分析，其频率分布直方图如图所示．记第一组[0，2），第二组[2，4），…，以此类推．
（1）根据频率分布直方图，估计高一段学生周末学习的平均时间；
（2）为了了解学习时间较少同学的情况，现从第一组、第二组中随机抽取2位同学，问恰有一位同学来自第一组的概率．