令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,对g(x)求导得g'(x)=ln(x+1)+1-a,令g'(x)=0⇒x=ea-1-1,
当a≤1时,对所有的x>0都有g'(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上为单调增函数,又g(0)=0,所以对x≥0时有g(x)≥g(0),即当a≤1时都有f(x)≥ax,所以a≤1成立,当a>1时,对于0<x<ea-1-1时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,ea-1-1)上是减函数,又g(0)=0,所以对于0<x<ea-1-1有g(x)<g(0),即f(x)<ax,所以当a>1时f(x)≥ax不一定成立,综上所述即可得出a的取值范围.
【解析】
令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,
对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a
令g′(x)=0,解得x=ea-1-1,
(i)当a≤1时,对所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函数,
又g(0)=0,所以对x≥0,都有g(x)≥g(0),
即当a≤1时,对于所有x≥0,都有f(x)≥ax.
(ii)当a>1时,对于0<x<ea-1-1,g′(x)<0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是减函数,
又g(0)=0,所以对0<x<ea-1-1,都有g(x)<g(0),
即当a>1时,不是对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.
综上,a的取值范围是(-∞,1].
故答案为(-∞,1].