Question

如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB=2，∠BCA=90°，棱AA₁=4，E、M、N分别是CC₁、A₁B₁、AA₁的中点．
（1）求证：A₁B⊥C₁M；
（2）求BN的长；
（3）求二面角B₁-A₁E-C₁平面角的余弦值．

Answer

（1）以C为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，我们易求出A1B与C1M的方向向量，然后根据他们的数量积为0，易判断A1B⊥C1M；
（2）根据N为AA1的中点CA=CB=2，棱AA1=4，求出B，N两点的坐标，代入空间两点间的距离公式，即可求出BN的长；
（3）分别求出平面B1A1E与平面A1EC1的法向量，我们代入向量的夹角公式即可求出二面角B1-A1E-C1平面角的余弦值．
证明：（1）如图建立空间直角坐标系
A1（2，0，4），B（0，2，0），C1（0，0，4），M（1，1，4），

∴∴A1B⊥C1M（4分）
（2）依题意得：B（0，2，0），N（2，0，2）
∴．（6分）
（3）依题意得：A1（2，0，4），B（0，2，0），C（0，0，0），B1（0，2，4）E（0，0，2），C1（0，0，4）
∴
∵BC⊥AC，BC⊥CC1
∴平面C1EA1的法向量为，得
设平面B1EA1的法向量为
则：
令，得
则
由题意可知：二面角B1-A1E-C1的大小是锐角
所以二面角B1-A1E-C1的平面角的余弦值是..（13分）