Question

已知函数f（x）=ax²+2ln（x+1），其中a为实数．
（1）若f（x）在x=1处有极值，求a的值；
（2）若f（x）在[2，3]上是增函数，求a的取值范围．

Answer

（1）计算因为f（x）在x=1处有极值所以f′（1）=2a+1=0可解
（2）解法一由f（x）在[2，3]上是增函数得在[2，3]上恒成立，利用分离参数，设x∈[2，3]求函数的最大值即可．
解法二依题意得fn（x）＞0对x∈[2，3]恒成立，即恒成立即ax2+ax+1＞0对x∈[2，3]恒成立转化为二次函数的问题．
【解析】
（1）由已知得f（x）的定义域为（-1，+∞）
又
∴由题意得f′（1）=2a+1=0
∴
（2）解法一：依题意得f′（x）＞0对x∈[2，3]恒成立，∴
∴
∵x∈[2，3]，∴的最小值为
∴的最大值为
又因时符合题意∴为所求
解法二：依题意得fn（x）＞0对x∈[2，3]恒成立，∴即
∵1+x＞0，
∴ax2+ax+1＞0对x∈[2，3]恒成立
令g（x）=ax2+ax+1
（1）当a=0时，1＞0恒成立
（2）当a＜0时，抛物线g（x）开口向下，可得g（x）min=g（3）＞0
即9a+3a+1≥0，∴（
（3）当a＞0时，抛物线g（x）开口向上，可得g（x）min=g（2）＞0
即4a+2a+1＞0，
∴，即a＞0
又因时符合题意
综上可得为所求