Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点在直线y=x+4上．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₄=8，前11项和为154．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值；
（3）设是否存在m∈N^*，使得f（m+9）=3f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据点在直线上，把点的坐标代入直线的方程得到数列的前n项和的表示式，由前n项和做出数列的通项，再得到第二个数列是一个等差数列，写出通项．
（2）构造新数列，把新数列的通项整理成可以应用裂项求和的形式，裂项求出和，证明和式的单调性，根据单调性做出和式的最值，根据数列的最值得到结论．
（3）根据所给的分段函数式，看出函数在自变量取奇数和偶数时的结果不同，因此要分类来解，在两种不同的条件下验证式子是否成立，得到不存在正整数m，使得f（m+9）=3f（m）成立．
【解析】
（1）由题意，得，即Sn=n2+4n．
故当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+4n-（n-1）2-4（n-1）=2n+3．
注意到n=1时，a1=S1=5，而当n=1时，n+4=5，
所以a=2n+3（n∈N*）．
又bn+2-2bn+1+bn=0，即bn+2-bn+1=bn+1-bn（n∈N*），
所以bn为等差数列，于是．
而b4=8，故b8=20，，
因此，bn=b4+3（n-4）=3n-4，
即bn=b4+3（n-4）=3n-4（n∈N*）．
（2）====．
所以，Tn=c1+c2+…+cn=
=．
由于
因此Tn单调递增，故T．
令，得，所以kmax=12．
（3）
①当m为奇数时，m+9为偶数．
此时f（m+9）=3（m+9）-4=3m+23，3f（m）=6m+9
所以3m+23=6m+9，（舍去）
②当m为偶数时，m+9为奇数．
此时，f（m+9）=2（m+9）+3=2m+21，3f（m）=9m-12，
所以2m+21=9m-12，（舍去）．
综上，不存在正整数m，使得f（m+9）=3f（m）成立．