Question

设函数，其中a为实数．
（Ⅰ）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）已知不等式f′（x）＞2x²-x-a+1对x∈[0，1]都成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）f′（x）=ax2-3x+（a+1），利用函数f（x）在x=1时取得极值，由f′（1）=0，及可求得a的值；
（Ⅱ）f′（x）＞2x2-x-a+1⇒（a-1）x2-2x+2a＞0，构造函数g（x）=（a-1）x2-2x+2a，对x2的系数分类讨论，利用g（x）＞0对任意x∈[0，1]都成立，即可求得实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=ax2-3x+（a+1），
由于函数f（x）在x=1时取得极值，
所以f′（1）=0，即a-3+a+1=0，
∴a=1．
（Ⅱ）由题设知：ax2-3x+（a+1）＞x2-x-a+1，对任意x∈[0，1]都成立，
即（a-1）x2-2x+2a＞0对任意x∈[0，1]都成立，
令g（x）=（a-1）x2-2x+2a，
①当a=1时，由g（x）＞0解得x＜1，显然x=1时不成立，故a≠1；
②当a-1＜0，即a＜1时，g（x）=（a-1）x2-2x+2a开口向下，g（x）的对称轴为x=-=＜0，
∴g（x）=（a-1）x2-2x+2a在[0，1]上单调递减，
∴g（x）＞0⇔g（1）=（a-1）-2+2a＞0，解得a＞1，与a＜1矛盾，故a＜1不符合题意；
③当a-1＞0，即a＞1时，g（x）=（a-1）x2-2x+2a开口向上，g（x）的对称轴为x=-=＞0，
若0＜≤1，即a≥2时，g（x）min=g（）=2a-＞0⇒a＞或a＜，
∴a≥2；
若＞1，即＞0⇒1＜a＜2时，g（x）=（a-1）x2-2x+2a开口向上，
∴g（x）＞0⇔g（1）=（a-1）-2+2a＞0，解得a＞1，又1＜a＜2，
∴1＜a＜2．
综上所述，a＞1．