Question

如图的倒三角形数阵满足：（1）第1行的，n个数，分别  是1，3，5，…，2n-1；（2）从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；（3）数阵共有n行．问：当n=2012时，第32行的第17个数是（ ）

A．2³⁷
B．2³⁶+2012
C．2³⁶
D．2³²

Answer

设第k行的第一个数为ak，则a1=1，a2=4=2a1+2，a3=12=2a2+22，a4=32=2a3+23，…归纳，得ak=2ak-1+2k-1（k≥2，且k∈N*），故an=n•2n-1（n∈N*）．由数阵的排布规律可知，每行的数（倒数两行另行考虑）都成等差数列，且公差依次为：2，22，…，2k，…，由此能求出第32行的第17个数．
【解析】
设第k行的第一个数为ak，
则a1=1，
a2=4=2a1+2，
a3=12=2a2+22，
a4=32=2a3+23，
…
由以上归纳，得ak=2ak-1+2k-1（k≥2，且k∈N*），
∴=+，即-=，
∴数列{}是以=为首项，以为公差的等差数列，
∴=+（n-1）×=，
∴an=n•2n-1（n∈N*）．
由数阵的排布规律可知，每行的数（倒数两行另行考虑）都成等差数列，
且公差依次为：2，22，…，2k，…
第n行的首项为an=n•2n-1（n∈N*），公差为2n，
∴第32行的首项为a32=32•231=236，公差为232，
∴第32行的第17个数是236+16×232=237．
故选A．