Question

已知展开式中偶数项二项式系数的和比（a+b）ⁿ展开式的各项系数和大112．
（1）求n；
（2）在（1）的条件下，求（a-b）²ⁿ展开式中系数最大的项；
（3）求展开式中的所有的有理项．

Answer

（1）由题意可得 -2n=112，解得2n=16，可得n=4．
（2）（a-b）2n =（a-b）8 开式中系数最大的项为 T5=•a4•（-b）4，化简可得结果．
（3）在 的展开式的通项公式中，令x的幂指数为整数，且0≤r≤8，可得r=1，4，7，从而求得展开式中的所有的有理项．
【解析】
（1）由题意可得 -2n=112，故有（2n-16）（2n+14）=0，∴2n=16，解得n=4．
（2）（a-b）2n =（a-b）8 开式中系数最大的项为 T5=•a4•（-b）4=70a4•b4．
（3）=展开式的通项公式为 Tr+1=••• 
=••．
再根据为整数且0≤r≤8，可得 r=1，4，7，
故有理项为 =-4x2；=；=-x-2．