Question

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
（1）证明：DN∥平面PMB；
（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求直线PB与平面BD的夹角．

Answer

（1）取PB中点Q，连结MQ、NQ，利用三角形中位线定理和菱形的性质，证出QNMD得到四边形MQND是平行四边形，可得DN∥MQ．利用线面平行判定定理，即可证出DN∥平面PMB；
（2）由菱形ABCD中∠A=60°，得到△ABD是正三角形，从而MB⊥AD．由PD⊥底ABCD得到PD⊥MB，利用线面垂直的判定定理，证出MB⊥平面PAD，结合面面垂直判定定理可得平面PMB⊥平面PAD；
（3）由前面的证明，可得△PBD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，从而得到直线PB与平面BD的夹角为45°．
【解析】
（1）取PB中点Q，连结MQ、NQ，
∵M、N分别是棱AD、PC中点，
∴QN∥BC∥MD，且QN=MD，
四边形MQND是平行四边形，可得DN∥MQ．
∵MQ⊂平面PMB，DN⊄平面PMB
∴DN∥平面PMB；…（5分）
（2）∵PD⊥底ABCD，MB⊂平面ABCD，
∴PD⊥MB
又∵底面ABCD为菱形，∠A=60°且M为AD中点，
∴MB⊥AD．
又∵AD、PD是平面PAD内的相交直线，∴MB⊥平面PAD．
∵MB⊂平面PMB，∴平面PMB⊥平面PAD；…（10分）
（3）连结BD，
∵底面ABCD是边长为a的菱形，∠A=60°
∴△ABD是边长为a的正三角形
∵PD⊥底ABCD，且PD=CD，
∴RT△PBD中，PD=BD=a，可得∠PBD=45°
即直线PB与平面BD的夹角等于45°…（14分）