(Ⅰ)要证BD⊥PC,只要证BD垂直于PC所在的平面PAC即可,由已知底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,利用线面垂直的判定即可得证;
(Ⅱ)由PC⊥平面BDE,得到PC⊥OE,利用直角三角形相似即可求出EC,从而求得λ的值;
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知∠BEO为二面角B-PC-A的平面角,直接解直角三角形即可得到答案.
(Ⅰ)证明,如图,
∵底面ABCD为正方形,∴AC⊥BD,又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD
∵PA∩AC=A,∴BD⊥面PAC,∴BD⊥PC;
(Ⅱ)【解析】
若PC⊥平面BDE,则PC⊥OE,
∴△PAC∽△OEC,
∵底面ABCD为正方形,PA=AB,
设PA=AB=a,则AC=a,OC=,.
∴,即,∴.
则.
所以,当λ等于2时,PC⊥平面BDE;
(Ⅲ)【解析】
当PC⊥平面BDE时,∠BEO为二面角B-PC-A的平面角,
在Rt△CEO中,.
在Rt△BOE中,.
所以∠BEO=.