Question

通过计算可得下列等式：2²-1²=2×1+1，3²-2²=2×2+1，4²-3²=2×3+1，┅┅，（n+1）²-n²=2×n+1
将以上各式分别相加得：（n+1）²-1²=2×（1+2+3+…+n）+n，即：
类比上述求法：请你求出1²+2²+3²+…+n²的值（要求必须有运算推理过程）．

Answer

先在立方公式中，取b=1，那么（a+1）3-a3=3a2+3a+1，再让a=1，2，3，…，n-1，n得23-1=3×12+3×1+1，33-23=3×22+3×2+1，43-33=3×32+3×3+1，…，（n+1）3-n3=3×n2+3n+1，再把这些式子相加可得（n+1）3-1=3（12+22+32+…+n2）+3（1+2+3+…+n）+n，从而可证12+22+32+…+n2==．
【解析】
23-13=3×12+3×1+1，
33-23=3×22+3×2+1，
43-33=3×32+3×3+1
┅┅
（n+1）3-n3=3×n2+3×n+1---（6分）
将以上各式分别相加得：
（n+1）3-13=3×（12+22+32+…+n2）+3×（1+2+3…+n）+n
所以：=---------（12分）