Question

设函数y=f（x）在区间D上的导数为f'（x），f'（x）在区间D上的导数为g（x），若在区间D上，g（x）＜0恒成立，则称函数y=f（x）在区间D上为“凸函数”已知实数m是常数，
（1）若y=f（x）在区间[0，3]上为“凸函数”，求m的取值范围；
（2）若对满足|m|≤2的任何一个实数m，函数f（x）在区间（a，b）上都为“凸函数”，求b-a的最大值．

Answer

（1）由题意可得g（x）＜0在[0，3]上恒成立⇔，解得m即可；
（2）令p（m）=g（x）=-xm+x2-3＜0对∀m∈[-2，2]上恒成立⇔，即转化为看作关于m的一次函数，利用其单调性即可解得x即可．
【解析】
，g（x）=x2-mx-3．
（1）由题意可得g（x）＜0在[0，3]上恒成立，
∴，解得m＞2．
∴m的取值范围是（2，+∞）；
（2）令p（m）=g（x）=-xm+x2-3＜0对∀m∈[-2，2]上恒成立，
∴，解得-1＜x＜1．
∴（b-a）max=1-（-1）=2．