Question

若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知h（x）=x²，φ（x）=2elnx（e为自然对数的底数）．
（1）求F（x）=h（x）-φ（x）的极值；
（2）函数h（x）和φ（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由已知中函数f（x）和φ（x）的解析式，求出函数F（x）的解析式，根据求导公式，求出函数的导数，根据导数判断函数的单调性并求极值
（2）由（1）可知，函数f（x）和φ（x）的图象在（，e）处相交，即f（x）和φ（x）若存在隔离直线，那么该直线必过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y-e=k（x-），即y=kx-k+e，根据隔离直线的定义，构造方程，可求出k值，进而得到隔离直线方程．
【解析】
（1）∵F（x）=f（x）-φ（x）=x2-2elnx（x＞0），
∴F′（x）=2x-==
令F′（x）=0，得x=，
当0＜x＜时，F′（x）＜0，x＞时，F′（x）＞0
故当x=时，F（x）取到最小值，最小值是0
（2）由（1）可知，函数f（x）和φ（x）的图象在（，e）处相交，
因此存在f（x）和φ（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，
设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y-e=k（x-，即y=kx-k+e
由f（x）≥kx-k+e（x∈R），可得x2-kx+k-e≥0当x∈R恒成立，
则△=k2-4k+4e=（k-2）2≤0，
∴k=2，此时直线方程为：y=2x-e，
下面证明φ（x）≤2x-eexx＞0时恒成立
令G（x）=2 x-e-φ（x）=2x-e-2elnx，
G′（x）=2-=（2x-2c）/x=2（x-）/x，
当x=时，G′（X）=0，当0＜x＜时G′（x）＞0，
则当x=时，G（x）取到最小值，极小值是0，也是最小值．
所以G（x）=2x-e-g（x）≥0，则φ（x）≤2x-e当x＞0时恒成立．
∴函数f（x）和φ（x）存在唯一的隔离直线y=2x-e