Question

设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有意义．对于给定的正数k，已知函数，取函数f（x）=3-x-e^-x．若对任意的x∈（-∞，+∞），恒有f₁（x）=f（x），则k的最小值为    ．

Answer

根据新定义的函数建立fk（x）与f（x）之间的关系，通过二者相等得出实数k满足的条件，利用导数或者函数函数的单调性求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果．
【解析】
由题意可得出k≥f（x）最大值，
由于f′（x）=-1+e-x，令f′（x）=0，e-x=1=e解出-x=0，即x=0，
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
故当x=0时，f（x）取到最大值f（0）=3-1=2．
故当k≥1时，恒有fk（x）=f（x）．
因此K的最小值是2．
故答案为：2．