Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N₊，都有S_n=（m+1）-ma_n（m为正常数）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）数列{b_n}满足b₁=2a₁，，（n≥2，n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列{}的前n项和T_n．

Answer

（1）由已知求出Sn+1=（m+1）-man+1，与Sn=（m+1）-man相减整理后可得为定值，进而根据等比数列定义可得结论；
（2）由已知求出b1，再由分离常数后构造新数列{}，可得数列{}是一个以为首项，以1为公式差的等差数列，进而求出数列{bn}的通项公式；
（3）根据（2）的结论，利用错位相减法，可得数列{}的前n项和Tn．
证明：（1）∵Sn=（m+1）-man…①
∴Sn+1=（m+1）-man+1，…②
②-①得
an+1=-man+1+man，即（m+1）an+1=man，
即
∴数列{an}是等比数列；
【解析】
（2）∵n≥2，n∈N*时，，
∴bn•bn-1=bn-1•bn
∴=1
又∵n=1时，S1=a1=（m+1）-ma1，
∴a1=1，b1=2a1=2，
∴数列{}是一个以为首项，以1为公式差的等差数列
∴=n-
∴bn=
（3）∵=（2n-1）2n
∴Tn=1•21+3•22+5•23…+（2n-1）2n…①
2Tn=1•22+3•23…+（2n-3）2n+（2n-1）2n+1…②
②-①得：
Tn=-2-2（22+23…+2n）+（2n-1）2n+1
=6+（2n-3）2n+1