Question

定义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且f（x）在[-1，0]上是增函数，下面五个关于f（x）的命题中：
①f（x）是周期函数；
②f（x）的图象关于直线x=1对称；
③f（x）在[0，1]上是增函数；
④f（x）在[1，2]上为减函数；
⑤f（2014）=f（0）．
正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

由f（x+1）=-f（x），得到函数的周期，然后利用周期性，奇偶性和单调性之间的关系分别判断．
【解析】
①由f（x+1）=-f（x），得f（x+2）=f（x），即函数的周期是2，所以函数f（x）是周期函数，所以①正确．
②因为f（x）是偶函数，所以f（x+2）=f（x）=f（-x），所以f（x）的图象关于直线x=1对称，所以②正确．
③因为函数f（x）是偶函数，且f（x）在[-1，0]上是增函数，所以f（x）在[0，1]上是减函数，所以③错误．
④因为函数f（x）是周期是2的周期函数，且f（x）在[-1，0]上是增函数，所以f（x）在[1，2]上是增函数，所以④错误．
⑤因为函数f（x）是周期是2的周期函数，所以f（2014）=f（0），所以⑤正确．
故正确的个数是3个．
故选C．