Question

已知数列{a_n}为等差数列，公差为d，{b_n}为等比数列，公比为q，且d=q=2，b₃+1=a₁₀=5，设c_n=a_nb_n．
（1）求数列{c_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}的前n项和为S_n，
（3）（理）求的值．

Answer

（1）由条件求得an=2n-15，bn=2n-1，可得cn =anbn=（2n-15）•2n-1．
（2）根据 Sn=c1+c2+c3+…+cn，用错位相减法求得错位相减求得Sn的解析式，再利用数列极限的运算法则求得= 的值．
【解析】
（1）∵a10=5，d=2，∴an=2n-15．
又∵b3=4，q=2，∴bn=2n-1，∴cn=（2n-15）•2n-1．
（2）∵Sn=c1+c2+c3+…+cn，∴2Sn=2c1+2c2+2c3+…+2cn，
错位相减，得-Sn=c1+（c2-2c1）+（c3-2c2）+…+（cn-2cn-1）-2cn．
∵c1=-13，cn-2cn-1=2n，
∴-Sn=-13+22+23+…+2n-（2n-15）•2n=-13+4（2n-1-1）-（2n-15）•2n
=-17+2n+1-（2n-15）•2n∴Sn=17+（2n-17）•2n．
∴= 
= ．