(1)设双曲线的渐近线为y=±x,由双曲线C1的两渐近线与圆C2:(x-2)2+y2=2相切及由A(0,)与圆心C2(2,0)关于直线y=x对称,求出m,n的值,从而能求出双曲线的方程.
(2)当k=1时,由l过点C2(2,0)知直线l的方程,设双曲线C1上支上一点P(x,y)到直线l的距离为2,建立关于点P坐标的方程组,由此能求出P点的坐标.
【解析】
(1)双曲线C1的两条渐近线方程为:
y=±x,顶点A为(0,)
∵双曲线C1的两渐近线与圆C2:(x-2)2+y2=2相切
∴=
即=1 ①
又∵A(0,)与圆心C2(2,0)关于直线y=x对称
∴=2 ②
由①、②解得:m=n=4
故双曲线C1的方程为:y2-x2=4
(2)当k=1时,由l过点C2(2,0)知:
直线l的方程为:y=x-2
设双曲线C1上支上一点P(x,y)到直线l的距离为2,则
y2-x2=4,且=2,
又∵点P(x,y)在双曲线C1的上支上,故y>0
解得:x=2,y=2.
故点P的坐标为(2,2).