Question

如图，椭圆上顶点为A，Q为x轴正半轴上一点，P为椭圆上异于A的一点，且．
（1）若的值；
（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线+3=0相切，求椭圆方程．

Answer

（1）由椭圆离心率可知b=c，进而根据．得AQ⊥AF，所以得到直线AQ的斜率，进而求得Q的坐标，最后利用向量的坐标表示进而可得答案．
（2）依题意可设QF的中点为M，则M（c，0），，从而过A，Q、F三点的椭圆的圆心M（c，0）半径为，又因此圆与l的相切，相切可知圆心到直线的距离等于半径，建立等式可求得c，进而求得a和b．椭圆的方程可得．
【解析】
（1）令
由椭圆离心率，…（1分）
则题意知A（0，b），F（-c，0），所以直线AF的斜率为，
由．得AQ⊥AF，所以直线AQ的斜率为
设Q
所以…（3分）
又设
由，
得，…（5分）
点P，
将a=2c，b=代入上式，可得λ=0（舍）或，
所以．
（2）设QF的中点为M，则M（c，0），，…（9分）
所以过A，Q、F三点的椭圆的圆心M（c，0）半径为…（9分）
又因此圆与l的相切，所以，
解得c=1，所以，
椭圆方程…（12分）