Question

对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），定义f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），，…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n=1，2，3，…．满足f_n（x）=x的点x∈[0，1]称为f的n阶周期点．设f（x）=，则f的n阶周期点的个数是（ ）
A．2n
B．2（2n-1）
C．2ⁿ
D．2n²

Answer

本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知条件和递推关系，先求出f的1阶周期点的个数，2阶周期点的个数，然后总结归纳其中的规律，f的n阶周期点的个数．
【解析】
当x∈[0，]时，f1（x）=2x=x，解得x=0
当x∈（ ，1]时，f1（x）=2-2x=x，解得x=
∴f的1阶周期点的个数是2
当x∈[0，]时，f1（x）=2x，f2（x）=4x=x解得x=0
当x∈（ ，]时，f1（x）=2x，f2（x）=2-4x=x解得x=
当x∈（ ，]时，f1（x）=2-2x，f2（x）=-2+4x=x解得x=
当x∈（ ，1]时，f1（x）=2-2x，f2（x）=4-4x=x解得x=
∴f的2阶周期点的个数是22
依此类推
∴f的n阶周期点的个数是2n
故选C．