Question

数列{a_n}是公差为正数的等差数列，a₂、a₅且是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=1-，
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）依题意，解方程x2-12x+27=0可得a2、a5，从而可得数列{an}的通项公式；由Tn=1-bn可求得数列{bn}的通项公式；
（2）cn=an•bn，利用错位相减法可求数列{cn}的前n项和Sn．
【解析】
（1）∵等差数列{an}的公差d＞0，a2、a5且是方程x2-12x+27=0的两根，
∴a2=3，a5=9．
∴d==2，
∴an=a2+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1；
又数列{bn}中，Tn=1-bn，①
∴Tn+1=1-bn+1，②
②-①得：=，又T1=1-b1=b1，
∴b1=，
∴数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列，
∴bn=•；
综上所述，an=2n-1，bn=•；
（2）∵cn=an•bn=（2n-1）••，
∴Sn=a1b1+a2b2+…+anbn
=1×+3××+…+（2n-1）××，③
∴Sn=×+3××+…+（2n-3）××+（2n-1）××，④
∴③-④得：Sn=+[+++…+]-（2n-1）××，
Sn=1+2[+++…+]-（2n-1）×
=1+2×-（2n-1）×
=2-×
=2-（2n+2）×．