Question

如图，AA₁、BB₁为圆柱OO₁的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA₁、CB₁的中点，DE⊥面CBB₁
（Ⅰ）证明：DE∥面ABC；
（Ⅱ）若BB₁=BC，求CA₁与面BB₁C所成角的正弦值．

Answer

（1）要证DE∥面ABC，可已由DE∥OA证得，而DE∥OA通过证明四边形AOED是平行四边形得出．
（2）作过C的母线CC1，连接B1C1，连接CO1，则∠A1CO1为CA1与面BB1C所成角，在RT△A1O1C中求解．
（1）证明：连接EO，OA．

∵E，O分别是CB1、BC的中点，∴EO∥BB1，又DA∥BB1，且DA=EO=BB1，
∴四边形AOED是平行四边形，即DE∥OA，DE⊄面ABC，
∴DE∥面ABC．
（2）【解析】
作过C的母线CC1，连接B1C1，则B1C1是上底面的直径，

连接A1O1，得A1O1∥AO，又AO⊥面CBB1C1，所以，A1O1⊥面CBB1C1，连接CO1，则∠A1CO1为CA1与面BB1C所成角，
设BB1=BC=2，则A1C==，A1O1=1，
在RT△A1O1C中，sin∠A1CO1==