Question

在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=-2分别交于点M、N；
（I）设直线AP、BP的斜率分别为k₁，k₂求证：k₁•k₂为定值；
（Ⅱ）求线段MN长的最小值；
（Ⅲ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）由椭圆方程求出两个顶点A，B的坐标，设出P点坐标，写出直线AP、BP的斜率k1，k2，结合P的坐标适合椭圆方程可证结论；
（Ⅱ）分别求出M和N点的坐标，由（Ⅰ）中的结论得到两直线斜率间的关系，把|MN|用含有一个字母的代数式表示，然后利用基本不等式求最值；
（Ⅲ）设出以MN为直径的圆上的动点Q的坐标，由列式得到圆的方程，化为圆系方程后联立方程组可求解圆所过定点的坐标．
（Ⅰ）证明：由题设椭圆C：=1可知，点A（0，1），B（0，-1）．
令P（x，y），则由题设可知x≠0．
∴直线AP的斜率，PB的斜率为．
又点P在椭圆上，所以，从而有=；
（Ⅱ）【解析】
由题设可得直线AP的方程为y-1=k1（x-0），
直线PB的方程为y-（-1）=k2（x-0）．
由，解得；
由，解得．
∴直线AP与直线l的交点N（），直线PB与直线l的交点M（）．
∴|MN|=||，又．
∴|MN|=||=．
等号成立的条件是，即．
故线段MN长的最小值为．
（Ⅲ）【解析】
以MN为直径的圆恒过定点或．
事实上，设点Q（x，y）是以MN为直径圆上的任意一点，则，
故有．
又．所以以MN为直径圆的方程为．
令，解得或．
所以以MN为直径的圆恒过定点或．