Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b_n}的第二项，第三项，第四项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对任意自然数n，均有，求c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₀₆值．

Answer

（1）利用等差数列的通项公式将第二项，第五项，第十四项用{an}的首项与公差表示，再据此三项成等比数列，列出方程，求出公差，利用等差数列及等比数列的通项公式求出数列{an}与{bn}的通项公式．
（2）利用数列的第n项等于前n项和减去前n-1项的和求出，进一步求出cn，利用等比数列的前n项和公式求出从第二项开始到第n项的和再加上首项3．
【解析】
（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2（d＞0）
解得d=2，
∴an=2n-1，bn=3n-1（5分）
（2）当n=1时，c1=3；当n≥2时，，
cn=2•3n-1，（10分）
∴c1+c2+…+c2006=3+2×3+2×32+…+2×32005=32006（14分）