Question

已知函数f（x）=在区间[m，n]上为增函数，
（I）若m=0，n=1时，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（m）f（n）=-4．则当f（n）-f（m）取最小值时，
（i）求实数a的值；
（ii）若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（a＜x₁＜x₂＜n）是f（x）图象上的两点，且存在实数x∈（a，n）使得f′（x）=，证明：x₁＜x＜x₂．

Answer

（I）由题意可得可得 f′（x）== 在区间[0，1]上恒正，故有，由此求得实数a的取值范围
（Ⅱ）（i）因为f（n）-f（m）=f（n）+[-f（m）]≥2=2=4，当且仅当f（n）=-f（m）=2时等号成立，由此求得a的值．

（ii）先求得f′（x）=，=，可得 =．欲证x1＜x＜x2，先用作差法求得 ＜．另一方面，根据 -=，可得x12-x2＜0，即x1＜|x|．
同理可证x＜x2，因此x1＜|x|＜x2．
【解析】
（I）若m=0，n=1，由已知函数f（x）=  在区间[0，1]上为增函数，
可得 f′（x）== 在区间[0，1]上恒正，
故有，解得a≥0，故实数a的取值范围为[0，+∞）．
（Ⅱ）（i）因为f（n）-f（m）=f（n）+[-f（m）]≥2=2=4，当且仅当f（n）=-f（m）=2时等号成立．
由f（n）=，有-a=2（n-1）2≥0，得a≤0； 由f（m）=，有a=2（m+1）2≥0，得a≥0；（10分）
故f（n）-f（m）取得最小值时，a=0，n=1．
（ii）此时，f′（x）=，=，
由f′（x）=，可得 =．
欲证x1＜x＜x2，先比较  与  的大小．
由于 -=-==．

因为0＜x1＜x2＜1，所以0＜x1x2＜1，有x1（2-x1x2）+x2＞0，
于是（x1-x2）[x1（2-x1x2）+x2]＜0，即 -＜0．
另一方面，-=，

因为0＜x12x2＜1，所以3+x12+x2-x12x2＞0，从而x12-x2＜0，即x1＜|x|．
同理可证x＜x2，因此x1＜|x|＜x2．