Question

已知数列{a_n}满足条件（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）且a₁=1，a₂=6，设b_n=a_n+n，求{b_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer

计算前几项，猜想数列的通项，再利用数学归纳法进行证明；
【解析】
当n=1时，a1=1，且a2=6
当n=2时，a3=3（a2-1）=15，
当n=3时，2a4=4（a3-1），∴a4=28，
猜测，bn=2n2．
下面用数学归纳法证明：
ⅰ当n=1时，等式b1=a1+1=2，b1=2，成立，
ⅱ假设当n=k时，
则由（k-1）ak+1=（k+1）（ak-1），
有ak+1=（k-1）（2k+1）=2k2+3k+1=2（k+1）2-（k+1），
=2（k+1）2
即n=k+1时，等式也成立
综上，bn=2n2．对一切大于0的自然数都成立．