Question

已知函数f（x）=ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b的图象关于原点成中心对称，试判断f（x）在区间[-4，4]上的单调性，并证明你的结论．

Answer

根据题意，由奇函数的定义，可得f（x）是奇函数，由奇函数的性质，可得a（-x）3+（a-1）（-x）2+48（a-2）（-x）x+b=-[ax3+（a-1）x2+48（a-2）x+b]恒成立，分析可得a、b的值，即可得f（x）的解析式，对f（x）求导，分析其导数在（-4，4）上的符号，结合函数单调性与导数的关系，即可得答案．
【解析】
f（x）在[-4，4]上是单调递减函数．
证明如下：函数f（x）的图象关于原点成中心对称，
则f（x）是奇函数，即f（-x）=-f（x）对于任意x的成立，
则有a（-x）3+（a-1）（-x）2+48（a-2）（-x）x+b=-[ax3+（a-1）x2+48（a-2）x+b]
必有a-1=0，b=0，
即a=1，b=0，
于是f（x）=x3-48x．
∴，
∴当，
所以f（x）在[-4，4]上是单调递减函数．