Question

已知数列ξ中，a₁=0，a_n+1=（n∈N^*）．
（1）计算a₂，a₃，a₄；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式并用数学归纳法证明．

Answer

（1）依题意，由a1=0，an+1=（n∈N*）即可求得a2，a3，a4；
（2）通过（1）可猜想an=（n=1，2，3，…）；下面用数学归纳法证明即可：先证当n=1时结论成立，再假设假设n=k时，结论成立，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．
【解析】
（1）a2=，a3==，同理可得a4=…（3分）
（2）猜想an=（n=1，2，3，…）…（6分）
证明：①当n=1时，结论显然成立…（8分）
②假设n=k时，结论成立，即ak=，
那么当n=k+1时，ak+1====，
即当n=k+1时，等式成立．
由①②知，an=对一切自然数n都成立．…（13分）