Question

已知函数f（x）=的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．
（I）求实数b、c的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值；
（Ⅲ）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴．若存在请证明，若不存在说明理由．

Answer

（I）根据函数在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5，建立方程，可确定实数b，c的值，进而可确定函数的解析式；
（II）分类讨论，求导函数，可得f（x）在[-1，1）上的最大值为2，当1≤x≤2时，f（x）=alnx．对a讨论，确定函数的单调性，即可求得结论；
（III）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P、Q的坐标，由此入手能得到对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．
【解析】
（Ⅰ）当x＜1时，f'（x）=-3x2+2x+b．
依题意，得解得b=c=0．…（4分）
（II）由（I）知，
①当，
令．x变化时，f'（x），f（x）的变化如下表：

x （-1，0）
f'（x） - + -
f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减

又，
∴f（x）在[-1，1）上的最大值为2．
②当1≤x≤2时，f（x）=alnx．
当a≤0时，f（x）≤0；当a＞0时，f（x）在[1，2]上单调递增，
∵f（x）在[1，2]上的最大值为aln2．
综上所述，当在[-1，2]上的最大值为2；
当在[-1，2]上的最大值为aln2．…（10分）
（III）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，
则点P、Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t3+t2），
显然t≠1∵△POQ为直角三角形，∴．（1）
是否存在P、Q等价于方程（1）是否有解．若0＜t＜1，则f（t）=-t3t2，
代入（1）式得，-t2+（-t3+t2）（t3+t2）=0，即t4-t2+1=0，而此方程无实数解，
因此t＞1．∴f（t）=alnt，代入（1）式得，-t2+（alnt）（t3+t2）=0，
即（*）考察函数h（x）=（x+1）lnx（x≥1），
则，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0，当t→+∞时，h（t）→∞，
∴h（t）的取值范围是（0，+∞）
∴对于a＞0，方程（*）总有解，即方程（1）总有解．
因此对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上总存在两点P、Q使得△POQ是以点O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（14分）