Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，M，N分别是AE，CD₁的中点，AD=AA₁=a，AB=2a，
（Ⅰ）求证：MN∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求异面直线AE和CD₁所成角的余弦值．

Answer

（1）取CD的中点K，连结MK，NK，由线面平行的判定结合中位线定理，证出MK∥面ADD1A1，NK∥面ADD1A1，利用面面平行判定定理得到面MNK∥面ADD1A1，结合MN⊂面MNK，证出MN∥面ADD1A1；
（2）取A1D1的中点F，连结AF、EF，可得平行四边形CEFD1中EF∥CD1，得∠AEF（或其补角）为异面直线AE和CD1所成的角．△AEF中算出AE、AF、EF的长，利用余弦定理算出，即得异面直线AE和CD1所成角的余弦值．
【解析】
（Ⅰ）取CD的中点K，连结MK，NK
∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、K分别为AK、CD1、CD的中点
∴MK∥AD，NK∥DD1
∵MK、NK⊄面ADD1A1，AD⊂面ADD1A1，DD1⊂面ADD1A1，
∴MK∥面ADD1A1，NK∥面ADD1A1
∵MK、NK是平面MNK内的相交直线
∴面MNK∥面ADD1A1
又∵MN⊂面MNK，∴MN∥面ADD1A1；
（Ⅱ）取A1D1的中点F，连结AF、EF，
则，从而四边形CEFD1为平行四边形，
∴EF∥CD1，可得∠AEF（或其补角）为异面直线AE和CD1所成的角 
在△AEF中，可得
，， 
由余弦定理，得

∴异面直线AE和CD1所成角的余弦值为．