Question

已知等差数列{a_n}的公差d不为零，首项a₁=2且前n项和为S_n．
（Ⅰ）当S₉=36时，在数列{a_n}中找一项a_m（m∈N），使得a₃，a₉，a_m成为等比数列，求m的值．
（Ⅱ）当a₃=6时，若自然数n₁，n₂，…，n_k，…满足3＜n₁＜n₂＜…＜n_k＜…并且a₁，a₃，a_n1，a_n2，…，a_nk，…是等比数列，求n_k的值．

Answer

（Ⅰ）由题意可得公差，由a3，a9，am成等比数列，可得关于m的式子，解之可得；
（Ⅱ）由条件可得an=2n，成等比数列，可得公比q=3，可得，由通项公式解之可得．
【解析】
（Ⅰ）∵数列{an}的公差d≠0，a1=2，S9=36，
∴，解之可得，
∴a3=3，a9=6…3分
由a3，a9，am成等比数列
则，得am=12，
又，
∴m=21…7分
（Ⅱ）∵{an}是等差数列，a1=2，a3=6，∴d=2，∴an=2n，
又成等比数列，所以公比q=3…11分，
∴
又是等差数列中的项，∴，
∴，
∴…14分．