(I)由题意知f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2,f(1)=1,由上此可推出f(a)=a.
(II)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.又因为有且只有一个实数x,使得f(x)=x
所以对任意x∈R,有f(x)-x2+x=x,因为f(x)=x,所以x-x2=0,故x=0或x=1.由此可推导出f(x)=x2-x+1(x∈R).
【解析】
(I)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x
所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2
又由f(2)=3,得f(3-22+2)=3-22+2,即f(1)=1
若f(0)=a,则f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a.
(II)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.
又因为有且只有一个实数x,使得f(x)=x
所以对任意x∈R,有f(x)-x2+x=x
在上式中令x=x,有f(x)-x2+x=x
又因为f(x)=x,所以x-x2=0,故x=0或x=1
若x=0,则f(x)-x2+x=0,即f(x)=x2-x
但方程x2-x=x有两个不相同实根,与题设条件矛盾.故x≠0
若x=1,则有f(x)-x2+x=1,即f(x)=x2-x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上,所求函数为f(x)=x2-x+1(x∈R)