Question

已知抛物线y=x²+（2k+1）x-k²+k，
（1）求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）设x₁、x₂是此抛物线与x轴两个交点的横坐标，且满足x₁²+x₂²=-2k²+2k+1．求抛物线的解析式．

Answer

（1）求得二次函数的判别式△=8k2+1大于零，可得抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）利用韦达定理化简x12+x22 ，再根据它等于-2k2+2k+1，求得8k2=0，即k=0，从而求得抛物线的解析式．
【解析】
（1）证明：△=（2k+1）2-4（-k2+k）=4k2+4k+1+4k2-4k=8k2+1．
∵8k2+1＞0，即△＞0，
∴抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）由题意得x1+x2=-（2k+1），x1•x2=-k2+k．
∵x12+x22=-2k2+2k+1，∴（x1+x2）2-2x1x2=-2k2+2k+1，
即（2k+1）2-2（-k2+k）=-2k2+k+1，4k2+4k+1+2k2-2k=-2k2+2k+1．
∴8k2=0，∴k=0，
∴抛物线的解析式是y=x2+x．