Question

设集合A={x|4^x-2^x+2+a=0，x∈R}．
（1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；
（2）若对于任意a∈B，不等式x²-6x＜a（x-2）恒成立，求x的取值范围．

Answer

（1）令2x=t（t＞0），设f（t）=t2-4t+a，通过换元可知：由f（t）=0在（0，+∞）上仅有一根或两相等实根，通过分类讨论利用△及其根与系数的关系即可得出；
（2）要使原不等式对任意a∈（-∞，0]∪{4}恒成立，即g（a）=（x-2）a-（x2-6x）＞0恒成立．转化为一次函数，利用其单调性只须解出即可．
【解析】
（1）令2x=t（t＞0），设f（t）=t2-4t+a，由f（t）=0在（0，+∞）上仅有一根或两相等实根，
①f（t）=0有两等根时，△=0⇒16-4 a=0⇒a=4．
验证：t2-4t+4=0⇒t=2∈（0，+∞）这时x=1．
②f（t）=0有一正根和一负根时，f（0）＜0⇒a＜0．
③若f（0）=0，则a=0，此时4x-2•2x=0⇒2x=0，（舍去），或2x=4，∴x=2，此时A中只有一个元素．
∴实数a的取值集合为B={a|a≤0或a=4}．
（2）要使原不等式对任意a∈（-∞，0]∪{4}恒成立，即g（a）=（x-2）a-（x2-6x）＞0恒成立．
只须⇒⇒5-＜x≤2．