Question

一个四棱锥的直观图和三视图如图所示：
（1）求证：BC⊥PB；
（2）求出这个几何体的体积．
（3）若在PC上有一点E，满足CE：EP=2：1，求证PA∥平面BED．

Answer

（1）由三视图可知：PD⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB=AD=1，CD=2．由条件利用直线和平面垂直的判定定理证明BC⊥平面PBD，从而证明BC⊥PB．
（2）由题意可得PD是这个四棱锥的高，求得底面的值，再由 ，运算求得结果．
（3）设AC交BD于O点，可得，再由，可得，从而PA∥EO，由此可得PA∥平面BED．
【解析】
（1）由三视图可知：PD⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB=AD=1，CD=2．
∵PD⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC．…（1分）
在梯形ABCD中，PD=AD=AB=1，CD=2，∴BD=，又可得BC=，CD=2，∴DB⊥BC．…（2分）
又∵PD∩BD=D，BD，PD⊂平面PBD，∴BC⊥平面PBD．
再由PB⊂平面PBD，∴BC⊥PB．…（5分）
（2）∵PD⊥平面ABCD，∴PD是这个四棱锥的高，…（6分）
∵底面=，…（7分）
∴=…（8分）
（3）连结AC，设AC交BD于O点，∵CD∥AB，CD=2AB，∴．（10分）
又∵，∴（，12分）∴PA∥EO．
EO⊂平面BED，PA⊄平面BE，∴PA∥平面BED…（14分）