Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

Answer

以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，我们易求出几何体中各个顶点的坐标．
（I）我们易求出，的坐标，要证明AP⊥BC，即证明•=0；
（II）要求满足条件使得二面角A-MC-β为直二面角的点M，即求平面BMC和平面APC的法向量互相垂直，由此求出M点的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式，即可求出AM的长．
【解析】
以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，
则O（0，0，0），A（0，-3，0），B（4，2，0），C（-4，2，0），P（0，0，4）
（I）则=（0，3，4），=（-8，0，0）
由此可得•=0
∴⊥
即AP⊥BC
（II）设=λ，λ≠1，则=λ（0，-3，-4）
=+=+λ=（-4，-2，4）+λ（0，-3，-4）
=（-4，5，0），=（-8，0，0）
设平面BMC的法向量=（a，b，c）
则

令b=1，则=（0，1，）
平面APC的法向量=（x，y，z）
则
即
令x=5
则=（5，4，-3）
由=0
得4-3=0
解得λ=
故AM=3
综上所述，存在点M符合题意，此时AM=3