Question

已知圆C的圆心为C（m，0），m＜3，半径为，圆C与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（1）求圆C的标准方程
（2）若点P的坐标为（4，4），试探究斜率为k的直线PF₁与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF₁的方程；若不能，请说明理由．

Answer

（1）由已知可设圆C的方程为（x-m）2+y2=5（m＜3），将点A的坐标代入圆C的方程，得（3-m）2+1=5．由此能求出圆C的方程．
（2）直线PF1能与圆C相切，设直线PF1的方程为y=k（x-4）+4，若直线PF1与圆C相切，则．当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为-4，由此能求出椭圆E的方程．
【解析】
（1）由已知可设圆C的方程为（x-m）2+y2=5（m＜3）
将点A的坐标代入圆C的方程，得（3-m）2+1=5
即（3-m）2=4，解得m=1，或m=5
∵m＜3∴m=1
∴圆C的方程为（x-1）2+y2=5．（6分）
（2）直线PF1能与圆C相切
依题意设直线PF1的方程为y=k（x-4）+4，即kx-y-4k+4=0
若直线PF1与圆C相切，则
∴4k2-24k+11=0，解得
当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去
当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为-4，
∴c=4，F1（-4，0），F2（4，0）
∴由椭圆的定义得：
∴，即a2=18，∴b2=a2-c2=2
直线PF1能与圆C相切，直线PF1的方程为x-2y+4=0，椭圆E的方程为．（14分）