Question

已知f（x）在（-1，1）上有定义，f（）=-1，且满足x，y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f（）
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（2）对数列x₁=，x_n+1=，求f（x_n）；
（3）求证

Answer

（1）利用题中条件找出f（-x）=-f（x）即可
（2）找f（xn+1）与f（xn）的关系，得f（xn）的表达式
（3）利用等比数列的求和公式可得不等式的左边，再利用分离常数法把不等式的右边整理即可得结论
（Ⅰ）证明：令x=y=0，∴2f（0）=f（0），∴f（0）=0
令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（x）+f（-x）=0∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数（4分）
（Ⅱ）【解析】
f（x1）=f（）=-1，f（xn+1）=f（）=f（）=f（xn）+f（xn）=2f（xn）
∴=2即{f（xn）}是以-1为首项，2为公比的等比数列
∴f（xn）=-2n-1
（Ⅲ）【解析】
=
而
∴